Exercício 6. Calcule as integrais iteradas utilizando mudança de coordenadas polares:
\int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{x-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{x - x^{2}}}^{\sqrt{x - x^{2}}}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx
usando mudança para coordenadas polares. O conteúdo aqui é dupla integral em regiões planas e aplicação da fórmula de coordenadas polares, onde (x,y) \mapsto (r\cos\theta,r\sin\theta) e o Jacobiano é r.

Passo 2

Primeiro identificamos a região D no plano dada por
-\sqrt{x - x^{2}}\le y\le \sqrt{x - x^{2}},\quad 0\le x\le 1.
A condição y^{2}\le x - x^{2} equivale a
x^{2}+y^{2}\le x \quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}\le r\cos\theta \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le r\le \cos\theta.
Além disso, x\ge0 implica \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2}, \qquad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo a integral vira
I = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{\cos\theta} r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\cos\theta} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro em r:
\int_{0}^{\cos\theta}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{\cos\theta} = \frac{\cos^{4}\theta}{4}.
Então
I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{4}\theta}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta.
Usando a identidade
\cos^{4}\theta = \frac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8},
vemos que os termos em \sin ao integrar de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} se anulam, sobrando
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{1}{8}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}3\,d\theta = \frac{3}{8}\bigl(\pi\bigr) = \frac{3\pi}{8}.
Portanto
I = \frac{1}{4}\cdot\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{32}

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