Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do PVI dado:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y=\sin (2 t) \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} y''(t)+y(t)=\sin(2t),\\\ y(0)=2,\;y'(0)=1, \end{cases}
usando a transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada em cada termo da EDO de segunda ordem, usar álgebra para isolar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, depois fazer frações parciais e finalmente a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\tfrac{2}{s^2+4}.
Substituindo em
y''+y=\sin(2t)
temos
\bigl(s^2Y(s)-2s-1\bigr)+Y(s)=\frac{2}{s^2+4}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s),
(s^2+1)Y(s)-2s-1=\frac{2}{s^2+4},
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Y(s)=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 4

Decompondo a fração \displaystyle \frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)} em
\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+4}
temos
2=A(s^2+4)+B(s^2+1)=(A+B)s^2+(4A+B).
Daí A+B=0 e 4A+B=2, resultando em A=\tfrac{2}{3}, B=-\tfrac{2}{3}. Assim
Y(s) =\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{s^2+4} =\frac{2s}{s^2+1}+\frac{5/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{s^2+4}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2s}{s^2+1}\Bigr\}=2\cos t,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{5/3}{s^2+1}\Bigr\}=\frac{5}{3}\sin t,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2/3}{s^2+4}\Bigr\} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{3}\sin(2t).
Como esse último veio com sinal negativo em Y(s), obtemos
y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

Resposta

y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

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