Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do PVI dado:
(2,0) Use a transformada de Laplace para resolver o PVI abaixo e expresse a solução em função de uma integral de convolução,
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=g(t) \\\ y(0)=a, y^{\prime}(0)=b \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' + 6\,y' + 9\,y = g(t),\\\ y(0)=a,\;y'(0)=b. \end{cases}
O conteúdo principal é usar a transformada de Laplace para resolver EDO linear com coeficientes constantes e gerar, para a parte forçada, uma integral de convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0). Assim,
\mathcal{L}\{y''\} +6\,\mathcal{L}\{y'\}+9\,\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{g\}(s),
ou seja,
\bigl(s^2Y - s\,a - b\bigr) +6\bigl(sY - a\bigr) +9Y = G(s).

Passo 3

Reunindo termos em Y e isolando,
(s^2+6s+9)\,Y -\bigl(s\,a + b +6a\bigr) = G(s),
portanto
Y(s) =\frac{G(s) + \bigl(s\,a + b +6a\bigr)}{(s+3)^2}.

Passo 4

Escrevemos o numerador como
s\,a + b +6a = a(s+3)+(b+3a),
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Y(s) =\frac{a(s+3)}{(s+3)^2} \;+\;\frac{b+3a}{(s+3)^2} \;+\;\frac{G(s)}{(s+3)^2} =\frac{a}{s+3}+\frac{b+3a}{(s+3)^2}+\frac{G(s)}{(s+3)^2}.

Passo 5

Invertemos cada parcela:
  1. \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{a}{s+3}\}(t)=a\,e^{-3t}. 2. \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{b+3a}{(s+3)^2}\}(t)=(b+3a)\,t\,e^{-3t}. 3. Para \tfrac{G(s)}{(s+3)^2} usamos convolução. Se h(t)=t\,e^{-3t}, então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{G(s)}{(s+3)^2}\Bigr\}(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}(t-\tau)\,e^{-3(t-\tau)}\,g(\tau)\,d\tau.

Resposta

y(t)=a\,e^{-3t}+(b+3a)\,t\,e^{-3t} +\int_{0}^{t}(t-\tau)\,e^{-3(t-\tau)}\,g(\tau)\,d\tau.

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