Exercício 8. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de raio 50 metros. Ele fornece água até uma profundidade de e^{-r} metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0<R \leq 50, qual a quantidade total de água fornecido por hora à região dentro da circunferência de raio R centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.
Passo 1
O enunciado descreve um pulverizador que cobre um círculo de raio 50 m e fornece água com profundidade por hora igual a \exp(-r) metros, onde r é a distância radial ao pulverizador.
(a) Pede a quantidade total de água por hora fornecida à região circular de raio R (com 0<R\le50).
(b) Pede a quantidade média de água por hora e por metro quadrado nessa mesma região de raio R.
Para resolver, vamos modelar o total de água como uma integral dupla em coordenadas polares e depois dividir pela área para obter a média.
Passo 2
Em coordenadas polares, o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim, a quantidade total de água por hora até raio R é