Exercício 8. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de raio 50 metros. Ele fornece água até uma profundidade de e^{-r} metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0<R \leq 50, qual a quantidade total de água fornecido por hora à região dentro da circunferência de raio R centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.

Passo 1

O enunciado descreve um pulverizador que cobre um círculo de raio 50 m e fornece água com profundidade por hora igual a \exp(-r) metros, onde r é a distância radial ao pulverizador.
(a) Pede a quantidade total de água por hora fornecida à região circular de raio R (com 0<R\le50).
(b) Pede a quantidade média de água por hora e por metro quadrado nessa mesma região de raio R.
Para resolver, vamos modelar o total de água como uma integral dupla em coordenadas polares e depois dividir pela área para obter a média.

Passo 2

Em coordenadas polares, o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim, a quantidade total de água por hora até raio R é
V(R) =\iint_{r\le R} \exp(-r)\,dA =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{R} \exp(-r)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{R}r\,\exp(-r)\,dr.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{R}r\,\exp(-r)\,dr, usamos integração por partes com u=r, dv=\exp(-r)\,dr, obtendo
\int r\,\exp(-r)\,dr =-r\,\exp(-r)-\int(-1)\exp(-r)\,dr =-\exp(-r)(r+1)+C.
A integral definida de 0 a R é
\int_{0}^{R}r\,\exp(-r)\,dr =\Bigl[-\exp(-r)(r+1)\Bigr]_{0}^{R} = -\exp(-R)(R+1)-\bigl[-\exp(0)\cdot1\bigr] =1-(R+1)\exp(-R).
Logo
V(R)=2\pi\bigl[1-(R+1)\exp(-R)\bigr].

Passo 4

A quantidade média de água por hora por metro quadrado na região de raio R é o total dividido pela área \pi R^2:
\overline{w}(R) =\frac{V(R)}{\pi R^2} =\frac{2\pi\bigl[1-(R+1)\exp(-R)\bigr]}{\pi R^2} =\frac{2}{R^2}\,\bigl[1-(R+1)\exp(-R)\bigr].

Resposta

(a) \displaystyle V(R)=2\pi\bigl[1-(R+1)e^{-R}\bigr].
(b) \displaystyle \overline{w}(R)=\frac{2}{R^2}\,\bigl[1-(R+1)e^{-R}\bigr].

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