Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes e transformada de Laplace, usando \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo da EDO, denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{y''\} -4\,\mathcal{L}\{y'\} +4\,\mathcal{L}\{y\} =0
ou seja
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-1\bigr)\;-\;4\bigl(sY(s)-1\bigr)\;+\;4Y(s)=0.

Passo 3

Expandindo e agrupando em Y(s):
s^2Y(s)-s-1 -4sY(s)+4 +4Y(s)=0
\bigl(s^2 -4s +4\bigr)Y(s) +(-s-1+4)=0
(s-2)^2\,Y(s) = s-3
Logo
Y(s) = \frac{s-3}{(s-2)^2}.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{s-3}{(s-2)^2} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{(s-2)^2}.
Multiplicando por (s-2)^2:
s-3 = A(s-2) + B.
Comparando coeficientes, vem A=1 e -3 = -2A + B \implies B=-1. Portanto
Y(s) = \frac{1}{s-2} \;-\; \frac{1}{(s-2)^2}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-2}\Bigr\} = e^{2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-2)^2}\Bigr\} = t\,e^{2t}.
Assim
y(t) = e^{2t} - t\,e^{2t} = (1 - t)\,e^{2t}.

Resposta

y(t) = (1 - t)\,e^{2t}.

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