Exercício 4 Seja f(s, t)=3 s \sqrt{t}+t \sqrt{s}+2. Calcule f(0,0), f(1,2), f(2,1), f(0,4) e f(4,9). Determine e esboce o domínio de f(s, t).

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(s,t)=3\,s\sqrt{t}+t\sqrt{s}+2
e pede (i) os valores de f em cinco pontos específicos e (ii) o domínio de definição de f. Para resolver, vamos usar simplesmente substituição nos pontos dados e, para o domínio, lembrar que as raízes quadradas exigem que seus argumentos sejam não negativos.

Passo 2

Calcular f(0,0). Substituindo s=0 e t=0 em
f(s,t)=3\,s\sqrt{t}+t\sqrt{s}+2
temos 3\cdot0\cdot\sqrt{0}=0 e 0\cdot\sqrt{0}=0, logo
f(0,0)=0+0+2=2.

Passo 3

Calcular f(1,2). Aqui \sqrt{1}=1 e \sqrt{2} fica como está, então
f(1,2)=3\cdot1\cdot\sqrt{2}+2\cdot1+2=3\sqrt{2}+2+2=3\sqrt{2}+4.

Passo 4

Calcular f(2,1). Agora \sqrt{2} permanece e \sqrt{1}=1, portanto
f(2,1)=3\cdot2\cdot1+1\cdot\sqrt{2}+2=6+\sqrt{2}+2=8+\sqrt{2}.

Passo 5

Calcular f(0,4). Temos \sqrt{4}=2 e \sqrt{0}=0, então
f(0,4)=3\cdot0\cdot2+4\cdot0+2=0+0+2=2.

Passo 6

Calcular f(4,9). Aqui \sqrt{9}=3 e \sqrt{4}=2, logo
f(4,9)=3\cdot4\cdot3+9\cdot2+2=36+18+2=56.

Passo 7

Determinar o domínio de f. As expressões \sqrt{t} e \sqrt{s} exigem t\ge0 e s\ge0. Portanto o domínio é
D=\{(s,t)\in\mathbb{R}^2\mid s\ge0,\;t\ge0\},
isto é, o primeiro quadrante (incluindo os eixos) no plano (s,t).

Resposta

f(0,0)=2 f(1,2)=3\sqrt{2}+4 f(2,1)=8+\sqrt{2} f(0,4)=2 f(4,9)=56
O domínio é \{(s,t)\mid s\ge0,\;t\ge0\}, o primeiro quadrante incluindo os eixos.

Exercícios relacionados