Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem homogênea
com condições iniciais
e
usando transformada de Laplace inversa. Vamos usar transformação de Laplace para converter a EDO em equação algébrica, aplicar as condições iniciais e depois inverter a transformada para obter
.
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace de cada termo usando as propriedades
e
. Assim,
Passo 3
Substituindo
e
nessa equação, obtemos
Agrupando termos em
Passo 4
Logo,
Passo 5
Para inverter a transformada, escrevemos o denominador completando o quadrado:
Passo 6
Reescrevendo o numerador em função de
:
ficando
Passo 7
Usamos as transformadas inversas conhecidas:
e
. Assim,
Resposta
y(t)=2e{-t}\cos(2t)+\tfrac12e{-t}\sin(2t)