Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada: y^prime prime+2 y^prime+5 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem homogênea y''+2y'+5y=0 com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1 usando transformada de Laplace inversa. Vamos usar transformação de Laplace para converter a EDO em equação algébrica, aplicar as condições iniciais e depois inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace de cada termo usando as propriedades Ly'(t)=sY(s)-y(0) e Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0). Assim,
s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)+2l(sY(s)-y(0)r)+5Y(s)=0

Passo 3

Substituindo y(0)=2 e y'(0)=-1 nessa equação, obtemos
s^2Y(s)-2s+1+2sY(s)-4+5Y(s)=0
Agrupando termos em Y(s) e isolando,
Y(s),(s^2+2s+5)=2s+3

Passo 4

Logo,
Y(s)=2s+3s^2+2s+5

Passo 5

Para inverter a transformada, escrevemos o denominador completando o quadrado:
s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2

Passo 6

Reescrevendo o numerador em função de (s+1):
2s+3=2(s+1)+1,
ficando
Y(s)=2(s+1)(s+1)^2+2^2+1(s+1)^2+2^2

Passo 7

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1tfracs+a(s+a)^2+b^2=e^-atcos(bt) e L^-1tfracb(s+a)^2+b^2=e^-atsin(bt). Assim,
y(t)=2e^-tcos(2t)+12e^-tsin(2t)

Resposta

y(t)=2e{-t}\cos(2t)+\tfrac12e{-t}\sin(2t)

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