S-4.8 Quais são os dois últimos algarismos na representação no sistema decimal do número 3^400 ? E do número 2^400 ?

Passo 1

O enunciado pede os dois últimos algarismos de 3^400 e de 2^400 em base decimal. O conteúdo principal é aritmética modular: vamos usar o Teorema de Euler para potências inversíveis módulo 100 e, no caso de 2^400, decompor em módulo 4 e módulo 25 e depois aplicar o CRT (Teorema Chinês dos Resíduos).

Passo 2

Para 3^400 note que gcd(3,100)=1 e
varphi(100)=varphi(2^2cdot5^2)=100l(1-12r)l(1-15r)=40
Pelo Teorema de Euler,
3^40equiv1pmod100,
logo
3^400=(3^40)^10equiv1^10equiv1pmod100
Isto significa que os dois últimos algarismos de 3^400 são “01”.

Passo 3

Para 2^400 não podemos aplicar Euler direto porque gcd(2,100)=2. Então separamos em
2^400bmod4e2^400bmod25
  1. Módulo 4: para n>=2 tem-se 2^nequiv0pmod4, logo
2^400equiv0pmod4
  1. Módulo 25: como gcd(2,25)=1 e varphi(25)=20,
2^20equiv1pmod25 Longrightarrow 2^400=(2^20)^20equiv1^20equiv1pmod25

Passo 4

Agora resolvemos pelo CRT o sistema
xequiv0pmod4, xequiv1pmod25
Procuramos x=4k tal que 4kequiv1pmod25. Como 4^-1pmod25=19,
kequiv19pmod25 Longrightarrow k=19
(considerando a solução mínima), daí
x=4cdot19=76
é a solução única módulo 100. Portanto 2^400equiv76pmod100.

Resposta

Os dois últimos algarismos de 3^400 são 01.
Os dois últimos algarismos de 2^400 são 76.

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