Encontre a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Pergunta clara: encontrar
tal que
Passo 2
Primeiro passo técnico: lembrar qual função no tempo tem transformada
.
Apresento a fórmula geral e explico: para inteiro vale
Apresento a fórmula geral e explico: para inteiro
Aqui
é o expoente do tempo na função
,
é o fatorial de
,
é a variável da transformada de Laplace e
denota a transformada de Laplace.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
(porque
):
Portanto, a inversa de
é obtida isolando
:
Explicação rápida do porquê: como
, para obter uma transformada que valha
basta dividir
por
.
Passo 4
Agora preciso tratar os fatores
e
. Vou ensinar o teorema do deslocamento no tempo (teorema da função degrau/Heaviside):
Se , então, para
,
Se
onde
é a função de Heaviside (degrau) deslocada, definida por
para
e
para
.
Passo 5
Rápida demonstração (intuitiva) do teorema do deslocamento: calcule
Fazendo a mudança de variável
(então
,
) obtemos
Isso prova o teorema.
Passo 6
Aplicando o teorema ao nosso caso: já vimos que
Pelo teorema do deslocamento, para
temos
e para
Passo 7
Como a transformada inversa é linear (a inversa de uma diferença é a diferença das inversas), combinamos os resultados:
Interpretação prática: a função no tempo é nula para
; a partir de
aparece a parcela
e, a partir de
, aparece a parcela subtraída
(por causa do sinal menos).