Encontre a transformada de Laplace inversa das funções
\frac{e^{-4 s}-e^{-s}}{s^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{e^{-4s}-e^{-s}}{s^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad \frac{1}{s^{3}}\quad\text{está presente (parte não atrasada),}áã
\text{(ii)}\quad e^{-4s}\\ \text{e}\\ e^{-s}\quad\text{são fatores exponenciais multiplicando a mesma}\\ \frac{1}{s^{3}}.ã
Pergunta clara: encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{e^{-4s}-e^{-s}}{s^{3}}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: lembrar qual função no tempo tem transformada \frac{1}{s^{3}}.
Apresento a fórmula geral e explico: para inteiro n\ge0 vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aqui n é o expoente do tempo na função t^{n}, n! é o fatorial de n, s é a variável da transformada de Laplace e \mathcal{L}\{\cdot\} denota a transformada de Laplace.

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=2 (porque \frac{1}{s^{3}}=\frac{1}{s^{2+1}}):
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto, a inversa de \frac{1}{s^{3}} é obtida isolando t^{2}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
Explicação rápida do porquê: como \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, para obter uma transformada que valha \dfrac{1}{s^{3}} basta dividir t^{2} por 2.

Passo 4

Agora preciso tratar os fatores e^{-4s} e e^{-s}. Vou ensinar o teorema do deslocamento no tempo (teorema da função degrau/Heaviside):
Se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então, para a>0,
\mathcal{L}\{u(t-a)\,f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função de Heaviside (degrau) deslocada, definida por u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t\ge a.

Passo 5

Rápida demonstração (intuitiva) do teorema do deslocamento: calcule
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=\int_{0}^{\infty} u(t-a)f(t-a)e^{-st}\,dt=\int_{a}^{\infty} f(t-a)e^{-st}\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=t-a (então t=\tau+a, dt=d\tau) obtemos
\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s(\tau+a)}\,d\tau=e^{-as}\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau=e^{-as}F(s).
Isso prova o teorema.

Passo 6

Aplicando o teorema ao nosso caso: já vimos que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
Pelo teorema do deslocamento, para a=4 temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{e^{-4s}\frac{1}{s^{3}}\right\}=u(t-4)\,\frac{(t-4)^{2}}{2},
e para a=1
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{e^{-s}\frac{1}{s^{3}}\right\}=u(t-1)\,\frac{(t-1)^{2}}{2}.

Passo 7

Como a transformada inversa é linear (a inversa de uma diferença é a diferença das inversas), combinamos os resultados:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-4s}-e^{-s}}{s^{3}}\right\} = u(t-4)\,\frac{(t-4)^{2}}{2} - u(t-1)\,\frac{(t-1)^{2}}{2}.
Interpretação prática: a função no tempo é nula para t<1; a partir de t=1 aparece a parcela \frac{(t-1)^{2}}{2} e, a partir de t=4, aparece a parcela subtraída \frac{(t-4)^{2}}{2} (por causa do sinal menos).

Resposta

u(t-4)\,\frac{(t-4)^{2}}{2}-u(t-1)\,\frac{(t-1)^{2}}{2}

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