O enunciado pede duas coisas: representar a função f(t)\) em termos da função degrau unitário e calcular a transformada de Laplace dessa representação. As informações dadas são:
\[f(t)= \begin{cases}3, & 0<t<2 \\\ t+1, & 2<t\end{cases}
Ou seja, para 0<t<2\] a função vale \(\,3 e, a partir de t=2, a função vale \,t+1.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a função degrau unitário (função de Heaviside) e como ela é usada para montar funções por partes.
(se quisermos, podemos definir u(a)=\tfrac12, mas isso não afeta transformadas integráveis). A ideia prática: multiplicar por u(t-a) “liga” um termo somente a partir de t=a.
Propriedade útil (linearidade): somando uma base que vale em todo lugar com um termo multiplicado por u(t-a) a partir de t=a conseguimos construir funções em pedaços.
Passo 3
Construção da representação de f(t) usando degrau.
Observação: antes de t=2 queremos f(t)=3. Uma forma inteligente é pegar como base a constante 3 e depois, a partir de t=2, adicionar a correção necessária para que o valor vire t+1.
Calcule a correção: para t>2 queremos que
3 + \text{correção}(t) = t+1.çã
Então a correção é
\text{correção}(t) = (t+1)-3 = t-2.çã
Assim representamos f(t) como
f(t)=3 + u(t-2)\,(t-2).
Verificação rápida:
Se 0<t<2, então u(t-2)=0 e f(t)=3 — ok.
Se t>2, então u(t-2)=1 e f(t)=3+(t-2)=t+1 — ok.
Portanto a representação em termos do degrau unitário é
f(t)=3 + u(t-2)\,(t-2).
Passo 4
Introdução rápida à transformada de Laplace e transformadas básicas que vamos usar.
Definição: a transformada de Laplace de uma função g(t) (para t\ge0) é
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt=\frac{1}{s^{2}}, \qquad\text{para }\Re(s)>0,(pode-se obter por integração por partes; resultado padrão).
Passo 5
Teorema do deslocamento no tempo (time-shifting) — derivação curta e uso.
Seja g(t) uma função com transformada \mathcal{L}\{g\}(s)=G(s). Então, para a>0,