e pede duas coisas: (1) representar f(t) em termos da função degrau unitário (função de Heaviside) e (2) encontrar a transformada de Laplace de f(t). As informações relevantes são: o valor de f(t) é \sin 3t entre t=0 e t=\pi, e é zero para t>\pi. Não há informação sobre os valores exatos em t=0 e t=\pi, o que não altera a transformada de Laplace.
Passo 2
O que é a função degrau unitário (Heaviside) e como ela ajuda aqui? A função degrau unitário é definida por
(omitimos o valor em t=a porque não afeta integrais). Ela permite “ligar” ou “desligar” uma função a partir de um instante a. Se quisermos uma função que valha g(t) apenas para t\ge a e zero antes, escrevemos g(t)u(t-a). No nosso caso queremos a função \sin 3t ligada em t=0 e desligada em t=\pi.
Passo 3
Vamos montar f(t) usando degraus. A maneira direta é escrever f(t) como \sin 3t ligado a partir de 0 e subtrair \sin 3t ligado a partir de \pi. Assim:
f(t)=\sin 3t\bigl(u(t)-u(t-\pi)\bigr).
Esse é já um formato padrão: u(t) liga a função em 0 (ou seja, preserva \sin3t para t>0) e u(t-\pi) desliga a partir de t=\pi.
Passo 4
Verificação por casos (para você ver que a representação está correta):
Se 0<t<\pi, então u(t)=1 e u(t-\pi)=0, logo \sin 3t (1-0)=\sin 3t, ok.
Se t>\pi, então u(t)=1 e u(t-\pi)=1, logo \sin 3t(1-1)=0, ok.
Portanto a representação está correta.
Passo 5
Agora lembramos fórmulas úteis para a transformada de Laplace. Para \Re(s)>0 vale: