Represente as funções em termos da função degrau unitário e encontre a transformada de Laplace
f(t)= \begin{cases}\sin 3 t, & 0<t<\pi \\\\ 0, & \pi<t\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases}\sin 3 t, & 0<t<\pi \\\\ 0, & \pi<t\end{cases}
e pede duas coisas: (1) representar f(t) em termos da função degrau unitário (função de Heaviside) e (2) encontrar a transformada de Laplace de f(t). As informações relevantes são: o valor de f(t) é \sin 3t entre t=0 e t=\pi, e é zero para t>\pi. Não há informação sobre os valores exatos em t=0 e t=\pi, o que não altera a transformada de Laplace.

Passo 2

O que é a função degrau unitário (Heaviside) e como ela ajuda aqui? A função degrau unitário é definida por
u(t-a)=\begin{cases}0,& t<a,\\\\ 1,& t>a,\end{cases}
(omitimos o valor em t=a porque não afeta integrais). Ela permite “ligar” ou “desligar” uma função a partir de um instante a. Se quisermos uma função que valha g(t) apenas para t\ge a e zero antes, escrevemos g(t)u(t-a). No nosso caso queremos a função \sin 3t ligada em t=0 e desligada em t=\pi.

Passo 3

Vamos montar f(t) usando degraus. A maneira direta é escrever f(t) como \sin 3t ligado a partir de 0 e subtrair \sin 3t ligado a partir de \pi. Assim:
f(t)=\sin 3t\bigl(u(t)-u(t-\pi)\bigr).
Esse é já um formato padrão: u(t) liga a função em 0 (ou seja, preserva \sin3t para t>0) e u(t-\pi) desliga a partir de t=\pi.

Passo 4

Verificação por casos (para você ver que a representação está correta):
  • Se 0<t<\pi, então u(t)=1 e u(t-\pi)=0, logo \sin 3t (1-0)=\sin 3t, ok.
  • Se t>\pi, então u(t)=1 e u(t-\pi)=1, logo \sin 3t(1-1)=0, ok.
    Portanto a representação está correta.

Passo 5

Agora lembramos fórmulas úteis para a transformada de Laplace. Para \Re(s)>0 vale:
\mathcal{L}\{\sin \omega t\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
E o teorema do deslocamento (segunda propriedade de deslocamento): se g(t) tem transformada G(s), então
\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
A ideia é sempre escrever a parte deslocada como uma função de (t-a) multiplicada por u(t-a).

Passo 6

Aplicando essas ideias ao termo \sin 3t\,u(t-\pi). Precisamos escrever \sin 3t como uma função de (t-\pi). Use a identidade de ângulo:
\sin 3t=\sin\bigl(3(t-\pi)+3\pi\bigr).
Como \sin(3\pi)=0 e \cos(3\pi)=-1, temos a simplificação direta
\sin 3t = -\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr).
Logo
\sin 3t\,u(t-\pi) = -\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr)\,u(t-\pi).
Agora está na forma g(t-\pi)u(t-\pi) com g(\tau)=-\sin 3\tau.

Passo 7

Calcule a transformada da primeira parcela \sin 3t\,u(t). Como u(t) é 1 para t>0, isso é simplesmente a transformada usual de \sin 3t:
\mathcal{L}\{\sin 3t\,u(t)\}=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 8

Calcule a transformada da segunda parcela \sin 3t\,u(t-\pi). Usando o que encontramos no passo anterior e o teorema do deslocamento:
\sin 3t\,u(t-\pi) = -\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr)\,u(t-\pi).
Se G(s)=\mathcal{L}\{\sin 3t\}=\dfrac{3}{s^{2}+9}, então \mathcal{L}\{-\sin 3t\}=-\dfrac{3}{s^{2}+9}. Aplicando o deslocamento com a=\pi:
\mathcal{L}\{\sin 3t\,u(t-\pi)\} = e^{-\pi s}\left(-\frac{3}{s^{2}+9}\right) = -e^{-\pi s}\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 9

A transformada de f(t)=\sin 3t\bigl(u(t)-u(t-\pi)\bigr) é a diferença das transformadas das parcelas:
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{3}{s^{2}+9} \;-\; \Bigl(-e^{-\pi s}\frac{3}{s^{2}+9}\Bigr).
Somando os termos:
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{3}{s^{2}+9}\bigl(1+e^{-\pi s}\bigr).
Se quiser, você pode verificar rapidamente integrando explicitamente \int_{0}^{\pi}e^{-st}\sin 3t\,dt — isso dá exatamente o mesmo resultado.

Resposta

f(t)=\sin 3t\bigl(u(t)-u(t-\pi)\bigr)
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{3\bigl(1+e^{-\pi s}\bigr)}{s^{2}+9}

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