Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\frac{6 s-10}{s^{2}+4}-\frac{3}{s-4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{6s-10}{s^{2}+4}-\frac{3}{s-4}.
Estamos trabalhando com transformadas de Laplace e precisamos conhecer as fórmulas básicas: \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}} e \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}.

Passo 2

Decompondo F(s) em duas parcelas mais simples, escrevemos
\frac{6s-10}{s^{2}+4}-\frac{3}{s-4} = \underbrace{\frac{6s}{s^{2}+4}}_{A(s)} \;-\; \underbrace{\frac{10}{s^{2}+4}}_{B(s)} \;-\; \underbrace{\frac{3}{s-4}}_{C(s)}.

Passo 3

Transformadas inversas de cada parcela:
  1. Para A(s)=\frac{6s}{s^{2}+4}, como \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^{2}+2^{2}}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\} =6\,\cos(2t).
  1. Para B(s)=\frac{10}{s^{2}+4}, como \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\frac{2}{s^{2}+2^{2}}, escrevemos
\frac{10}{s^{2}+4} = 5\cdot\frac{2}{s^{2}+2^{2}},
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\mathcal{L}^{-1}\{B(s)\} =5\,\sin(2t).
  1. Para C(s)=\frac{3}{s-4}, usamos \mathcal{L}\{e^{4t}\}=\frac{1}{s-4}, então
\mathcal{L}^{-1}\{C(s)\} =3\,e^{4t}.

Passo 4

Juntando os resultados, a transformada de Laplace inversa de F(s) é
f(t) =6\cos(2t)\;-\;5\sin(2t)\;-\;3e^{4t}.

Resposta

\boxed{f(t)=6\cos(2t)-5\sin(2t)-3e^{4t}.}

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