Resolva os seguintes problemas de valor inicial, via transformada de Laplace:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=\delta(t-2 \pi) \cos t \\\ y(0)=y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é o valor inicial
y'' + y = \delta(t - 2\pi)\cos t,\quad y(0)=1,\;y'(0)=1,
que envolve uma força impulso em t=2\pi. Vamos usar a transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados e usando \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y\}=Y(s) e \mathcal{L}\{\delta(t-2\pi)\cos t\}=e^{-2\pi s}\cos(2\pi)=e^{-2\pi s}, obtemos
s^2Y(s)-s\cdot1-1 + Y(s) = e^{-2\pi s}.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s):
Y(s)\bigl(s^2+1\bigr) = s+1 + e^{-2\pi s},
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Y(s) = \frac{s+1}{s^2+1} \;+\;\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}.

Passo 4

Invertendo a primeira fração: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}=\cos t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}=\sin t, de onde
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s+1}{s^2+1}\Bigr\} = \cos t + \sin t.

Passo 5

Para a segunda parcela usamos o teorema do deslocamento: \mathcal{L}^{-1}\{e^{-2\pi s}F(s)\} = u(t-2\pi)\,f(t-2\pi).
Como F(s)=1/(s^2+1) inverte para f(t)=\sin t, temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}\Bigr\} = u(t-2\pi)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).

Passo 6

Somando as duas partes, a solução no tempo é
y(t) = \cos t + \sin t + u(t-2\pi)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).

Resposta

y(t) = \cos t + \sin t + u(t-2\pi)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).

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