Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\frac{2-s}{5+s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de \frac{2 - s}{s^2 + 5}. Vamos usar as transformadas básicas \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2} e \mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}, com a = \sqrt{5}.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, escrevemos
\frac{2 - s}{s^2 + 5} = \frac{2}{s^2 + 5} - \frac{s}{s^2 + 5}.

Passo 3

Reconhecemos que
\frac{s}{s^2 + 5} \longleftrightarrow \cos(\sqrt{5}\,t),
\frac{1}{s^2 + 5} \longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}\,t).

Passo 4

Aplicando a inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s^2 + 5}\Bigr\} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}\,t) = \frac{2}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}\,t),
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2 + 5}\Bigr\} = \cos(\sqrt{5}\,t).
Combinando e lembrando do sinal negativo, chegamos a
f(t) = \frac{2}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}\,t) - \cos(\sqrt{5}\,t).

Resposta

f(t) = \frac{2}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}\,t) - \cos(\sqrt{5}\,t)

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