( 6 pontos) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação linear não homogênea de segunda ordem
com
. O conteúdo aqui é aplicação do método dos coeficientes indeterminados para forçante do tipo
onde
é um polinômio de grau 1.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada
O polinômio característico é
cuja raiz são
Logo a solução homogênea é
com
.
Passo 3
A forçante é
que corresponde ao caso
com
,
e
. Como
coincide com uma raiz simples da homogênea, temos multiplicidade de ressonância
.
Passo 4
Segundo o método dos coeficientes indeterminados, a forma usual para
seria
Como há ressonância de ordem
, multiplicamos essa forma por
.
Passo 5
Portanto, a forma adequada para a solução particular
é
ou, reorganizando os polinômios, equivalentemente
Resposta
A forma adequada para a solução particular é