( 6 pontos) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=t e^{-t} \operatorname{sen}(\sqrt{\alpha-1} t)
para \alpha>1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + \alpha\,y = t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr),
com \alpha>1. O conteúdo aqui é aplicação do método dos coeficientes indeterminados para forçante do tipo
P_{1}(t)\,e^{at}\,\operatorname{sen}(\omega t),
onde P_{1}(t) é um polinômio de grau 1.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada
y'' + 2y' + \alpha\,y = 0.
O polinômio característico é
r^{2} + 2r + \alpha = 0
cuja raiz são
r = -1 \pm i\sqrt{\alpha-1}.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(t) = e^{-t}\Bigl(C_{1}\cos(\beta t) + C_{2}\sin(\beta t)\Bigr),
com \beta = \sqrt{\alpha-1}.

Passo 3

A forçante é
f(t) = t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(\beta t),
que corresponde ao caso P_{1}(t)\,e^{at}\sin(\omega t) com a=-1, \omega=\beta e P_{1}(t)=t. Como a + i\omega = -1 + i\beta coincide com uma raiz simples da homogênea, temos multiplicidade de ressonância s=1.

Passo 4

Segundo o método dos coeficientes indeterminados, a forma usual para P_{1}(t)e^{at}\sin(\omega t) seria
e^{at}\bigl[(A t + B)\cos(\omega t)+(C t + D)\sin(\omega t)\bigr].
Como há ressonância de ordem s=1, multiplicamos essa forma por t^{1}.

Passo 5

Portanto, a forma adequada para a solução particular y_{p}(t) é
y_{p}(t) = t\,e^{-t}\Bigl[(A t + B)\cos(\beta t)+(C t + D)\sin(\beta t)\Bigr],
ou, reorganizando os polinômios, equivalentemente
y_{p}(t) = e^{-t}\Bigl[(A t^{2} + B t)\cos(\beta t)+(C t^{2} + D t)\sin(\beta t)\Bigr].

Resposta

A forma adequada para a solução particular é
y_{p}(t) = e^{-t}\bigl[(A t^{2} + B t)\cos(\sqrt{\alpha-1}\,t)+(C t^{2} + D t)\sin(\sqrt{\alpha-1}\,t)\bigr].

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