Seja f a função definida por f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
Calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) \rightarrow(0,0) ao longo da reta y=m x, m \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0) seguindo a reta y= m x, com m\neq0. O conteúdo aqui é cálculo de limite de função de duas variáveis ao longo de um caminho, usando parametrização.

Passo 2

Parametrizamos a reta por y= m x e reescrevemos f em função de x apenas. Substituindo na definição:
f(x,mx)=\frac{x^{2}}{x^{2}+(m x)^{2}}.

Passo 3

Fatoramos x^{2} no denominador para simplificar:
f(x,mx) =\frac{x^{2}}{x^{2}\bigl(1+m^{2}\bigr)} =\frac{1}{1+m^{2}},\quad x\neq0.

Passo 4

Como a expressão é constante para todo x\neq0, ao fazermos x\to0 não há dependência de x. Logo,
\lim_{x\to0}f(x,mx) =\frac{1}{1+m^{2}}.

Resposta

\frac{1}{1+m^{2}}

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