Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais contínuos:
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2 \sigma^{2}}\

Passo 1

Enunciado: Encontrar a transformada de Fourier do sinal contínuo
f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}}
Informações dadas:
\sigma>0 é um parâmetro (desvio padrão) e f é definida em todo \mathbb{R}^{2}.
Pergunta clara: calcular \mathcal{F}\{f\}(u,v), isto é, a transformada de Fourier bidimensional de f(x,y) (usar uma convenção de transformada deve ser especificada nos passos seguintes).

Passo 2

Escolho a convenção de transformada de Fourier em duas dimensões muito usada em processamento de sinais (frequências em ciclos por unidade):
\mathcal{F}\{f\}(u,v)=\iint_{\mathbb{R}^{2}} f(x,y)\,e^{-2\pi i(ux+vy)}\,dx\,dy,
onde u,v são as variáveis de frequência (em ciclos/unidade) e i é a unidade imaginária. Explico: esta definição coloca o fator 2\pi no expoente e é conveniente porque transforma Gaussianas em Gaussianas com fator simples 2\pi^{2} no expoente — veremos isto na conta. Todas as fórmulas matemáticas daqui em diante seguem essa convenção.

Passo 3

Observação útil (separabilidade): a função f é produto de duas Gaussianas unidimensionais. Escrevemos
f(x,y)=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}}_{g(x)}\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}}}_{h(y)}
pois \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}. Pela propriedade da transformada (produto separável em x e y), a transformada bidimensional fatoriza:
\mathcal{F}\{f\}(u,v)=\mathcal{F}_x\{g\}(u)\cdot\mathcal{F}_y\{h\}(v),
onde \mathcal{F}_x indica a transformada unidimensional em x e \mathcal{F}_y a transformada unidimensional em y. Assim basta calcular a transformada unidimensional de
g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}.

Passo 4

Calcular \mathcal{F}_x\{g\}(u):
\mathcal{F}_x\{g\}(u)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}\,e^{-2\pi i u x}\,dx.
Juntamos expoentes:
-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}-2\pi i u x = -\frac{1}{2\sigma^{2}}\Big(x^{2}+4\pi i \sigma^{2} u\,x\Big).
Completar o quadrado dentro do colchete:
x^{2}+4\pi i \sigma^{2}u\,x = \big(x+2\pi i \sigma^{2}u\big)^{2} - \big(2\pi i \sigma^{2}u\big)^{2}.
Assim o expoente fica
-\frac{\big(x+2\pi i \sigma^{2}u\big)^{2}}{2\sigma^{2}} \;+\; \underbrace{\frac{\big(2\pi i \sigma^{2}u\big)^{2}}{2\sigma^{2}}}_{\displaystyle -2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}}.
Logo
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}e^{-2\pi i u x} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}}\;e^{-\frac{\big(x+2\pi i \sigma^{2}u\big)^{2}}{2\sigma^{2}}}.
Agora integramos em x de -\infty a +\infty. A integral da última exponencial gaussiana (com o termo x+2\pi i\sigma^{2}u) tem o mesmo valor que a integral gaussiana real, porque é uma translação analítica do eixo real (resultado padrão ou pode-se mudar variável z=x+2\pi i\sigma^{2}u e usar propriedades da integral gaussiana). Assim
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\big(x+2\pi i \sigma^{2}u\big)^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx = 1.
Portanto
\mathcal{F}_x\{g\}(u)=e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}}.
(Isto é o resultado clássico: a Gaussiana normalizada transforma-se numa Gaussiana sem fator de amplitude adicional nesta convenção.)

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio para h(y) obtemos
\mathcal{F}_y\{h\}(v)=e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}v^{2}}.
Multiplicando os fatores (separabilidade do Passo 3),
\mathcal{F}\{f\}(u,v)=e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}}\;e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}v^{2}} = e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}(u^{2}+v^{2})}.

Passo 6

Comentário rápido (para a prova): se outra convenção de transformada for usada — por exemplo sem o fator 2\pi no expoente, \displaystyle\hat F(k_x,k_y)=\iint f(x,y)e^{-i(k_x x + k_y y)}dxdy — o resultado muda apenas no coeficiente do expoente: nessa convenção a transformada seria \displaystyle e^{-\frac{\sigma^{2}}{2}(k_x^{2}+k_y^{2})}. Por isso sempre declare a convenção antes de calcular. Aqui usamos a convenção com 2\pi no expoente e obtivemos o resultado do Passo 5.

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(u,v)=e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)}

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