Encontre três números não-negativos x, y e z tais que x+y+z=2001 e o produto x y z é o maior possível.

Passo 1

O problema pede para escolhermos três números não-negativos x,y,z com a soma fixa
x+y+z=2001
de modo que o produto xyz fique o maior possível. O conteúdo que vamos usar é a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM).

Passo 2

A desigualdade AM–GM para três números não-negativos diz que
\frac{x+y+z}{3} \;\ge\;(xyz)^{1/3}.
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^{3}\;\ge\;xyz.

Passo 3

Como sabemos que x+y+z=2001, substituímos na desigualdade:
xyz \;\le\;\left(\frac{2001}{3}\right)^{3} \;=\;667^{3}.
Isso mostra que o valor máximo possível de xyz é 667^{3}.

Passo 4

A igualdade em AM–GM ocorre se e somente se x=y=z. Para ter
xyz = 667^{3},
precisamos de
x=y=z=\frac{2001}{3}=667.

Resposta

x=667,\quad y=667,\quad z=667.

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