Encontre três números não-negativos x, y e z tais que x+y+z=2001 e o produto x y z é o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para escolher três números não-negativos x,y,z tais que
x+y+z=2001
de modo que o produto xyz fique o maior possível.
O conteúdo de matéria envolvido é otimização com restrição, e a ferramenta ideal aqui é a desigualdade AM–GM (Desigualdade entre a Média Aritmética e a Média Geométrica).

Passo 2

A desigualdade AM–GM para três números não-negativos x,y,z afirma que
\frac{x+y+z}{3}\;\ge\;\sqrt[3]{xyz}
com igualdade se, e somente se,
x = y = z.

Passo 3

Da AM–GM segue que
xyz \;\le\;\Bigl(\frac{x+y+z}{3}\Bigr)^3 = \Bigl(\frac{2001}{3}\Bigr)^3.
Portanto, o maior valor possível de xyz é
\Bigl(\frac{2001}{3}\Bigr)^3.

Passo 4

Para que ocorra igualdade em AM–GM, devemos ter
x = y = z.
Como também precisamos satisfazer x+y+z=2001, segue
3x = 2001 \quad\Longrightarrow\quad x = 667.
Logo
x = y = z = 667.

Passo 5

Esses valores são não-negativos e somam 667+667+667=2001, então são admissíveis e, por AM–GM, maximizam o produto.

Resposta

x = 667,\quad y = 667,\quad z = 667.

Exercícios relacionados