Encontre três números não-negativos
e
tais que
e o produto
é o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede para escolher três números não-negativos
tais que
de modo que o produto
fique o maior possível.
O conteúdo de matéria envolvido é otimização com restrição, e a ferramenta ideal aqui é a desigualdade AM–GM (Desigualdade entre a Média Aritmética e a Média Geométrica).
O conteúdo de matéria envolvido é otimização com restrição, e a ferramenta ideal aqui é a desigualdade AM–GM (Desigualdade entre a Média Aritmética e a Média Geométrica).
Passo 2
A desigualdade AM–GM para três números não-negativos
afirma que
com igualdade se, e somente se,
Passo 3
Da AM–GM segue que
Portanto, o maior valor possível de
é
Passo 4
Para que ocorra igualdade em AM–GM, devemos ter
Como também precisamos satisfazer
, segue
Logo
Passo 5
Esses valores são não-negativos e somam
, então são admissíveis e, por AM–GM, maximizam o produto.