(valor: 2,0 ) Calcule \iint_{R} x e^{x y} d A, em que R é a região limitada pelo retângulo de vértices (0,0),(0,2),(1,0) e (1,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R} x\,e^{x y}\,dA
onde R é o retângulo com vértices (0,0), (1,0), (1,2) e (0,2).
Para resolver precisamos usar o conceito de integral dupla como iterada e a técnica de integração de exponenciais.

Passo 2

Parametrizamos R por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2
e escrevemos a integral como iterada:
\iint_{R} x\,e^{x y}\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2} x\,e^{x y}\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em y, tratando x como constante. Observando que
\frac{d}{dy}\bigl(e^{x y}\bigr)=x\,e^{x y}, temos
\int_{0}^{2} x\,e^{x y}\,dy = \bigl[e^{x y}\bigr]_{y=0}^{y=2} = e^{2x}-e^{0} = e^{2x}-1.

Passo 4

Agora a integral em x fica
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}e^{2x}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}1\,dx = \left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{0}^{1} - 1 = \frac{e^{2}-1}{2} - 1 = \frac{e^{2}-3}{2}.

Resposta

\frac{e^{2}-3}{2}

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