Encontre os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema de valor inicial
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver
b. Não sei como resolver
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Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema de valor inicial
.”
Informações dadas:
- A equação diferencial ordinária é
. - Condição inicial:
. - Queremos os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor da solução centrado em
.
Passo 2
O que é o polinômio de Taylor aqui e como vamos encontrá-lo (aula rápida e prática):
- Se
é suficientemente diferenciável em torno de , sua série de Taylor centrada em é
- Para obter os coeficientes precisamos calcular as derivadas
. - A equação diferencial nos dá
em termos de e , então podemos diferenciar essa expressão para achar usando regras padrão (derivada de soma, produto e cadeia). - Relembrando as regras que usaremos:
- Derivada da soma:
. - Derivada do produto:
. - Regra da cadeia implícita: se
então .
- Derivada da soma:
- Objetivo prático: calcular
(isto nos dá termos constantes, de ordem 1 e 2) — e, se quisermos, podemos calcular para ver o próximo termo.
Passo 3
Calcular
:
- É dado pela condição inicial:
Passo 4
Calcular
:
- A equação nos dá
. - Avaliando em
:
Passo 5
Calcular
e
:
- Diferenciamos
. - Derivada de
é . - Derivada de
é, pela regra da cadeia e do produto, . - Logo
- Agora avaliamos em
, usando e :
Passo 6
Transformar as derivadas nos coeficientes da série:
- O termo constante (ordem
) é . - O coeficiente do termo em
(ordem ) é . - O coeficiente do termo em
(ordem ) é .
Passo 7
(Bônus didático) calcular
para ver o próximo termo (mostra como seguir se precisar de mais termos):
- Partimos de
. - Diferenciando:
onde usamos a regra do produto em
:
.
- Avaliando em
com :
- O coeficiente do termo em
seria . (Isto é útil se quiseres um polinômio de grau 3.)