Encontre os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema de valor inicial y^{\prime}=x^{2}+y^{2} ; \quad y(0)=1
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Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema de valor inicial \;y'=x^{2}+y^{2},\; y(0)=1.”
Informações dadas:
  • A equação diferencial ordinária é \;y'=x^{2}+y^{2}.
  • Condição inicial: \;y(0)=1.
  • Queremos os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor da solução centrado em x=0.

Passo 2

O que é o polinômio de Taylor aqui e como vamos encontrá-lo (aula rápida e prática):
  • Se y(x) é suficientemente diferenciável em torno de 0, sua série de Taylor centrada em 0 é
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
  • Para obter os coeficientes precisamos calcular as derivadas y(0),y'(0),y''(0),\dots.
  • A equação diferencial nos dá y' em termos de x e y, então podemos diferenciar essa expressão para achar y'',y''',\dots usando regras padrão (derivada de soma, produto e cadeia).
  • Relembrando as regras que usaremos:
    • Derivada da soma: (f+g)'=f'+g'.
    • Derivada do produto: (fg)'=f'g+fg'.
    • Regra da cadeia implícita: se h(x)=g(y(x)) então h'(x)=g'(y(x))\cdot y'(x).
  • Objetivo prático: calcular y(0),y'(0),y''(0) (isto nos dá termos constantes, de ordem 1 e 2) — e, se quisermos, podemos calcular y'''(0) para ver o próximo termo.

Passo 3

Calcular \;y(0):
  • É dado pela condição inicial:
y(0)=1.

Passo 4

Calcular \;y'(0):
  • A equação nos dá \;y'(x)=x^{2}+y(x)^{2}.
  • Avaliando em x=0:
y'(0)=0^{2}+y(0)^{2}=0+1^{2}=1.

Passo 5

Calcular \;y''(x) e \;y''(0):
  • Diferenciamos \;y'(x)=x^{2}+y(x)^{2}.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de y(x)^{2} é, pela regra da cadeia e do produto, 2y(x)\cdot y'(x).
  • Logo
y''(x)=2x+2y(x)\,y'(x).
  • Agora avaliamos em x=0, usando y(0)=1 e y'(0)=1:
y''(0)=2\cdot 0 + 2\cdot y(0)\cdot y'(0)=0+2\cdot 1\cdot 1=2.

Passo 6

Transformar as derivadas nos coeficientes da série:
  • O termo constante (ordem 0) é \displaystyle \frac{y(0)}{0!}=1.
  • O coeficiente do termo em x (ordem 1) é \displaystyle \frac{y'(0)}{1!}=1.
  • O coeficiente do termo em x^{2} (ordem 2) é \displaystyle \frac{y''(0)}{2!}=\frac{2}{2}=1.

Passo 7

(Bônus didático) calcular \;y'''(0) para ver o próximo termo (mostra como seguir se precisar de mais termos):
  • Partimos de y''(x)=2x+2y\,y'.
  • Diferenciando:
y'''(x)=2 + 2\bigl(y'(x)\,y'(x) + y(x)\,y''(x)\bigr)
onde usamos a regra do produto em 2y\,y': (y\,y')' = y'\,y' + y\,y''.
  • Avaliando em 0 com y(0)=1,\;y'(0)=1,\;y''(0)=2:
y'''(0)=2 + 2\bigl(1\cdot 1 + 1\cdot 2\bigr)=2+2(1+2)=2+6=8.
  • O coeficiente do termo em x^{3} seria \displaystyle \frac{y'''(0)}{3!}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}. (Isto é útil se quiseres um polinômio de grau 3.)

Resposta

\displaystyle y(x)=1+x+x^{2}+O(x^{3})

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