Encontre os três últimos dígitos de 13^{398}, sabendo-se que 13^{400} \equiv 1 \bmod 1000.

Passo 1

O enunciado pede os três últimos dígitos de 13^{398} no módulo 1000, sabendo que
13^{400}\equiv 1\pmod{1000}.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, uso de congruências e cálculo de inverso multiplicativo.

Passo 2

Como 13^{400}\equiv 1\pmod{1000}, podemos escrever
13^{398}=13^{400}\cdot 13^{-2}\equiv 1\cdot 13^{-2}\equiv 13^{-2}\pmod{1000}.
Ou seja, basta encontrar o inverso de 13^2 módulo 1000.

Passo 3

Calculamos primeiro
13^2=169.
Agora precisamos de x tal que
169\,x\equiv 1\pmod{1000},
isto é, o inverso de 169 no módulo 1000.

Passo 4

Aplicamos o algoritmo de Euclides estendido para 1000 e 169:
\begin{aligned} 1000 &=169\cdot 5 +155,\\\\ 169 &=155\cdot 1 +14,\\\\ 155 &=14\cdot 11 +1,\\\\ 14 &=1\cdot 14 +0. \end{aligned}
Agora voltamos para expressar o 1 como combinação de 1000 e 169:
\begin{aligned} 1&=155 -14\cdot11,\\\\ 14&=169-155,\\\\ 155&=1000-169\cdot5. \end{aligned}
Substituindo em cascata, obtém-se
1=1000\cdot12 -169\cdot71.
Isto mostra que
169\cdot(-71)\equiv 1\pmod{1000},
logo o inverso de 169 é
-71\equiv 929\pmod{1000}.

Passo 5

Portanto
13^{-2}\equiv 929\pmod{1000},
e assim
13^{398}\equiv 929\pmod{1000}.

Resposta

929

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