Lembre que na Seção 0.5 foi visto que a intensidade \beta de um som em decibéis (dB) é dada por \beta=10 \log \left(I / I_{0}\right), onde I é a intensidade do som em watts por metro quadrado \left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right) e I_{0} é uma constante que é aproximadamente a intensidade do som no limiar da capacidade auditiva do ser humano. Encontre a taxa de variação de \beta em relação a I no ponto em que
I / I_{0}=100

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre a intensidade do som I e o nível em decibéis \beta:
\beta = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0} é uma constante (intensidade de referência). A pergunta é: encontrar a taxa de variação de \beta em relação a I no ponto em que \dfrac{I}{I_{0}} = 100.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula \beta = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right) (a notação \log aqui é o logaritmo na base 10, como é convencional em decibéis).
  • O ponto onde avaliar a derivada é definido por \dfrac{I}{I_{0}} = 100, ou seja I = 100 I_{0}.

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas importantes sobre derivadas de logaritmos (passo didático rápido, sem pular etapas).
  1. Derivada do logaritmo na base natural: para f(x)=\ln x,
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
  1. Mudança de base para logaritmo na base 10: para qualquer x>0,
\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}.
Logo, derivando,
\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{\ln 10}\right) = \frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x\ln 10}.
Explicando de forma bem simples: o fator \ln 10 aparece porque converter o logaritmo de base 10 para base e exige dividir por \ln 10. Portanto, sempre que derivarmos \log_{10} de uma função composta u(I), devemos usar a regra da cadeia:
\frac{d}{dI}\log_{10}u(I) = \frac{1}{u(I)\ln 10}\cdot u'(I).

Passo 3

Agora aplicamos ao nosso problema. Escrevendo \beta como função de I,
\beta(I) = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right).
Use a regra da cadeia com u(I)=\dfrac{I}{I_{0}}.
  • Primeiro calcule u'(I). Como u(I)=\dfrac{I}{I_{0}}, temos
u'(I)=\frac{d}{dI}\left(\frac{I}{I_{0}}\right)=\frac{1}{I_{0}}.
  • Agora derive \beta:
\frac{d\beta}{dI} = 10\cdot\frac{d}{dI}\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right) = 10\cdot\frac{1}{\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)\ln 10}\cdot\frac{1}{I_{0}}.
Vamos simplificar essa expressão cuidadosamente. Multiplicando os fatores:
\frac{d\beta}{dI} = 10\cdot\frac{1}{\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)\ln 10}\cdot\frac{1}{I_{0}} = 10\cdot\frac{I_{0}}{I}\cdot\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{1}{I_{0}}.
Os I_{0} se cancelam, sobrando
\frac{d\beta}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}.
Observação alternativa (mais curta, mesma ideia): usar \log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)=\log_{10}I-\log_{10}I_{0}. Como \log_{10}I_{0} é constante, \dfrac{d}{dI}\log_{10}I = \dfrac{1}{I\ln 10}, e multiplicando por 10 vem o mesmo resultado.

Passo 4

Agora avaliamos a derivada no ponto pedido. O ponto é dado por \dfrac{I}{I_{0}}=100, isto é I=100 I_{0}. Substituindo em \dfrac{d\beta}{dI}=\dfrac{10}{I\ln 10},
\left.\frac{d\beta}{dI}\right|_{I=100I_{0}} = \frac{10}{(100 I_{0})\ln 10} = \frac{1}{10 I_{0}\ln 10}.
Interpretação de unidades: essa taxa tem unidade de decibéis por unidade de intensidade, isto é \text{dB} por \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Se quiser um valor numérico usando o valor típico de referência I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (valor aproximado do limiar auditivo), então
\left.\frac{d\beta}{dI}\right|_{I=100I_{0}} = \frac{1}{10\cdot10^{-12}\ln 10} = \frac{1}{10^{-11}\ln 10} \approx 4,34\times10^{10}\\ \text{dB}\,/\,(\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).

Resposta

\dfrac{1}{10 I_{0}\ln 10}\\ \text{dB}\,/\,(\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2})
(se I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, aproximadamente \;4,34\times10^{10}\\ \text{dB}\,/\,(\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}))

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