Lembre que na Seção 0.5 foi visto que a intensidade \beta de um som em decibéis (dB) é dada por \beta=10 \log \left(I / I_{0}\right), onde I é a intensidade do som em watts por metro quadrado \left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right) e I_{0} é uma constante que é aproximadamente a intensidade do som no limiar da capacidade auditiva do ser humano. Encontre a taxa de variação de \beta em relação a I no ponto em que
I / I_{0}=100
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre a intensidade do som I e o nível em decibéis \beta:
\beta = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0} é uma constante (intensidade de referência). A pergunta é: encontrar a taxa de variação de \beta em relação a I no ponto em que \dfrac{I}{I_{0}} = 100.
Informações relevantes fornecidas:
A fórmula \beta = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right) (a notação \log aqui é o logaritmo na base 10, como é convencional em decibéis).
O ponto onde avaliar a derivada é definido por \dfrac{I}{I_{0}} = 100, ou seja I = 100 I_{0}.
Passo 2
Vamos lembrar duas coisas importantes sobre derivadas de logaritmos (passo didático rápido, sem pular etapas).
Derivada do logaritmo na base natural: para f(x)=\ln x,
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
Mudança de base para logaritmo na base 10: para qualquer x>0,
\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}.
Logo, derivando,
\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{\ln 10}\right) = \frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x\ln 10}.
Explicando de forma bem simples: o fator \ln 10 aparece porque converter o logaritmo de base 10 para base e exige dividir por \ln 10. Portanto, sempre que derivarmos \log_{10} de uma função composta u(I), devemos usar a regra da cadeia:
Observação alternativa (mais curta, mesma ideia): usar \log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)=\log_{10}I-\log_{10}I_{0}. Como \log_{10}I_{0} é constante, \dfrac{d}{dI}\log_{10}I = \dfrac{1}{I\ln 10}, e multiplicando por 10 vem o mesmo resultado.
Passo 4
Agora avaliamos a derivada no ponto pedido. O ponto é dado por \dfrac{I}{I_{0}}=100, isto é I=100 I_{0}. Substituindo em \dfrac{d\beta}{dI}=\dfrac{10}{I\ln 10},
Interpretação de unidades: essa taxa tem unidade de decibéis por unidade de intensidade, isto é \text{dB} por \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Se quiser um valor numérico usando o valor típico de referência I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (valor aproximado do limiar auditivo), então