Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{3}(x)+\cos ^{3}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin^3(x)+\cos^3(x).
Aqui vamos usar a regra da soma (a derivada de uma soma é a soma das derivadas) e a regra da cadeia (para derivar uma potência composta).

Passo 2

Seja u(x)=\sin(x). Então o primeiro termo é u(x)^3. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)^3\bigr] =3\,u(x)^2\cdot u'(x) =3\,\sin^2(x)\cdot\cos(x).

Passo 3

Seja v(x)=\cos(x). Então o segundo termo é v(x)^3. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[v(x)^3\bigr] =3\,v(x)^2\cdot v'(x) =3\,\cos^2(x)\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =-3\,\cos^2(x)\,\sin(x).

Passo 4

Aplicando a regra da soma, somamos as derivadas dos dois termos:
f'(x) =3\,\sin^2(x)\cos(x)\;-\;3\,\cos^2(x)\sin(x).
Podemos ainda fatorar 3\,\sin(x)\cos(x), obtendo
f'(x)=3\,\sin(x)\cos(x)\,\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=3\,\sin^2(x)\cos(x)\;-\;3\,\cos^2(x)\sin(x) \;=\;3\,\sin(x)\cos(x)\,\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr).

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