Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\frac{x^{4}+x}{2 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x^{4}+x}{2x+2}\biggr).
O conteúdo aqui envolve a regra da cadeia aplicada ao logaritmo, além de simplificar com a propriedade \ln(a/b)=\ln a-\ln b.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo para escrever
f(x)=\ln(x^{4}+x)\;-\;\ln(2x+2).

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de \ln(u), que é \dfrac{u'}{u}, a cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{4}+x)\bigr] =\frac{4x^{3}+1}{x^{4}+x},
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(2x+2)\bigr] =\frac{2}{2x+2}.
Logo,
f'(x)=\frac{4x^{3}+1}{x^{4}+x}\;-\;\frac{2}{2x+2}.

Passo 4

Simplificamos o segundo termo:
\frac{2}{2x+2} =\frac{2}{2\,(x+1)} =\frac{1}{x+1}.
Portanto
f'(x)=\frac{4x^{3}+1}{x^{4}+x}\;-\;\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Fatoramos x^{4}+x=x\,(x^{3}+1)=x\,(x+1)\,(x^{2}-x+1) e juntamos em único quociente:
f'(x) =\frac{4x^{3}+1}{x(x+1)(x^{2}-x+1)} -\frac{1}{x+1} =\frac{4x^{3}+1 - \bigl(x^{3}-x^{2}+x\bigr)}{x(x+1)(x^{2}-x+1)}.
No numerador:
4x^{3}+1 - x^{3} + x^{2} - x =3x^{3} + x^{2} - x +1.

Resposta

f'(x) =\frac{3x^{3} + x^{2} - x +1}{x\, (x+1)\,(x^{2}-x+1)}.

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