Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tg}\left(\frac{x^{2}+2}{x^{3}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\tan\bigl(\frac{x^2+2}{x^3+1}\bigr). Aqui vamos aplicar a regra da cadeia (para a \tan) e a regra do quociente (para o argumento interno).

Passo 2

Definimos a função externa F(u)=\tan(u) e a interna
u(x)=\frac{x^2+2}{x^3+1}.
Pela regra da cadeia teremos
f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Como F(u)=\tan(u)$, sabemos que \[F'(u)=\operatorname{sec}^2(u).\]

Passo 4

Agora vamos achar u'(x) usando a regra do quociente em
u(x)=\frac{x^2+2}{x^3+1}.
A fórmula é
u'(x) =\frac{(x^3+1)\,\frac{d}{dx}(x^2+2)\;-\;(x^2+2)\,\frac{d}{dx}(x^3+1)}{(x^3+1)^2}.

Passo 5

Calculando as derivadas do numerador:
\frac{d}{dx}(x^2+2)=2x, \qquad \frac{d}{dx}(x^3+1)=3x^2.
Logo o numerador fica
2x(x^3+1)-3x^2(x^2+2) =2x^4+2x-3x^4-6x^2 =-(x^4+6x^2-2x).
Portanto
u'(x) =-\frac{x^4+6x^2-2x}{(x^3+1)^2}.

Passo 6

Substituindo F'(u) e u'(x) em f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x), obtemos
f'(x) =\operatorname{sec}^2\!\Bigl(\frac{x^2+2}{x^3+1}\Bigr) \;\times\; \Bigl(-\frac{x^4+6x^2-2x}{(x^3+1)^2}\Bigr).

Resposta

f'(x) =-\frac{x^4+6x^2-2x}{(x^3+1)^2}\,\operatorname{sec}^2\!\Bigl(\frac{x^2+2}{x^3+1}\Bigr).

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