Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(\frac{3 x+7}{x+1}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{3x+7}{x+1}\Bigr)^{4}
Aplicaremos a regra da cadeia para a potência e, em seguida, a regra do quociente para derivar o termo interno \frac{3x+7}{x+1}.

Passo 2

Defina
u(x)=\frac{3x+7}{x+1},
então f(x)=u(x)^{4}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=4\,u(x)^{3}\,u'(x).

Passo 3

Para encontrar u'(x), use a regra do quociente:
u'(x) =\frac{(3)\,(x+1)-(3x+7)\,(1)}{(x+1)^{2}} =\frac{3x+3-3x-7}{(x+1)^{2}} =\frac{-4}{(x+1)^{2}}.
Substituindo em f'(x):
f'(x) =4\Bigl(\frac{3x+7}{x+1}\Bigr)^{3} \cdot\frac{-4}{(x+1)^{2}} =-16\;\frac{(3x+7)^{3}}{(x+1)^{5}}.

Resposta

f'(x)=-16\,\frac{(3x+7)^{3}}{(x+1)^{5}}.

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