Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln (x \operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(x\,\operatorname{sen}(x)\bigr). Para isso vamos usar a regra da cadeia aplicada ao logaritmo, a regra do produto para derivar x\,\operatorname{sen}(x) e, por fim, simplificar.

Passo 2

Seja
u(x)=x\,\operatorname{sen}(x),
então
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Vamos calcular u'(x) usando a regra do produto em u(x)=x\cdot\operatorname{sen}(x):
u'(x)=1\cdot\operatorname{sen}(x)+x\cdot\cos(x)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)/u(x), obtemos
f'(x) =\frac{\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)}{x\,\operatorname{sen}(x)} =\frac{\operatorname{sen}(x)}{x\,\operatorname{sen}(x)}+\frac{x\cos(x)}{x\,\operatorname{sen}(x)} =\frac{1}{x}+\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
Reconhecemos \cos(x)/\operatorname{sen}(x)=\cot(x), então
f'(x)=\frac{1}{x}+\cot(x).

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x}+\cot(x).

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