Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos \left(\sqrt{\left.1+x^{2}\right)}\right.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr).
Como temos uma composição de funções (primeiro 1+x^{2}, depois a raiz quadrada e por fim o cosseno), vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos funções auxiliares:
u(x)=1+x^{2},\quad v(u)=\sqrt{u},\quad w(v)=\cos(v).
As derivadas são
u'(x)=2x,\quad v'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}},\quad w'(v)=-\sin(v).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=w'\bigl(v(x)\bigr)\,v'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo:
f'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\;\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\;2x =-\sin\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\;\frac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 4

Cancelando o 2:
f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\sin\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr).

Resposta

f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\sin\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr).

Exercícios relacionados