Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
A diagonal principal de uma matriz Hermitiana só pode conter números reais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se é verdade que “a diagonal principal de uma matriz Hermitiana só pode conter números reais”. O conteúdo envolve matrizes complexas, a definição de matriz Hermitiana e propriedades de conjugação de números complexos. Vamos usar que, por definição, uma matriz Hermitiana satisfaz , onde é a transposta conjugada de .
Passo 2
Pela definição de Hermiticidade, para todo vale
Em particular, tomando i=j, obtemos
aii = aii
Passo 3
Mostramos agora que qualquer número complexo z que satisfaz z = z é necessariamente real. Escrevendo
z = x + i,y, z = x - i,y,
a igualdade z = z implica
x + i,y = x - i,y Longrightarrow y = -y Longrightarrow y = 0
Logo z = xinR. Aplicando isso a aii, concluímos que cada aii é real.