Encontre os valones máximo e mínimo absolutos de cada função no intervalo dado:
h(x)=\frac{x}{x^{2}-x+1} em [0,3].

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
h(x)=\frac{x}{x^{2}-x+1}
no intervalo fechado [0,3].
Conteúdo: extremos absolutos em intervalo fechado, usando derivada para achar pontos críticos e comparação com valores nos extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do quociente:
h'(x) =\frac{(1)\,(x^{2}-x+1)-x\,(2x-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}} =\frac{x^{2}-x+1-2x^{2}+x}{(x^{2}-x+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
Para h'(x)=0 basta 1-x^{2}=0, ou seja x=\pm1. No intervalo [0,3] só interessa x=1. Como o denominador nunca zera, não há outras singularidades. Pontos candidatos: x=1, x=0 e x=3.

Passo 3

Avaliamo-s h nesses pontos:
h(0)=\frac{0}{0^{2}-0+1}=0,
h(1)=\frac{1}{1-1+1}=1,
h(3)=\frac{3}{9-3+1}=\frac{3}{7}\approx0,4286.

Passo 4

Comparamos os valores: h(1)=1 é o maior entre \{0,1,3/7\}, e h(0)=0 é o menor. Logo em [0,3] o máximo absoluto ocorre em x=1 e o mínimo absoluto em x=0.

Resposta

Máximo absoluto: h(1)=1.
Mínimo absoluto: h(0)=0.

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