1. Encontre o valor aproximado dos logaritmos abaixo com 3 casas decimais.
(c) \log _{\frac{1}{3}} 5

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor aproximado, com três casas decimais, de \log_{\frac{1}{3}} 5.
Informações dadas (explicitamente no enunciado): só a expressão \log_{\frac{1}{3}} 5. Não há figura nem tabela anexada.

Passo 2

Lembrete útil e fórmula que vamos usar (mudança de base). Para quaisquer a>0, a\neq1, e b>0 vale a fórmula
\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural (base e). Aqui cada símbolo significa:
  • \log_a b: logaritmo de b na base a;
  • \ln b: logaritmo natural de b;
  • \ln a: logaritmo natural de a.
Essa fórmula decorre da definição de logaritmo e da propriedades dos logaritmos (não precisa memorizar a demonstração agora, basta saber que é a forma padrão para trocar de base).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\log_{\frac{1}{3}} 5=\frac{\ln 5}{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}.
Observação sobre o sinal: \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\ln 1-\ln 3=0-\ln 3=-\ln 3. Assim podemos escrever mais simplesmente
\log_{\frac{1}{3}} 5=\frac{\ln 5}{-\ln 3}=-\frac{\ln 5}{\ln 3}.
Isto mostra já um ponto conceitual importante: como a base \tfrac{1}{3} está entre 0 e 1, o logaritmo de um número maior que 1 será negativo (por isso o sinal negativo aparece).

Passo 4

Para obter o valor numérico, podemos usar logaritmos na base 10 (ou natural) e aplicar a mudança de base — o quociente será o mesmo. Vou usar valores decimais conhecidos (tabelas de logaritmo/base-10 ou tabelas comuns):
\log_{10}5=0,6989700043360189,\qquad \log_{10}3=0,47712125471966244.
Esses são valores tabelados de \log_{10}; como expliquei, qualquer base serve porque
\log_{\frac{1}{3}}5=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}(\frac{1}{3})}=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}1-\log_{10}3}=\frac{\log_{10}5}{0-\log_{10}3}=-\frac{\log_{10}5}{\log_{10}3}.

Passo 5

Substituindo os valores e calculando o quociente:
-\frac{\log_{10}5}{\log_{10}3} = -\frac{0,6989700043360189}{0,47712125471966244}.
Agora calculamos a divisão. Fazendo a divisão com precisão suficiente obtém-se
-\frac{0,6989700043360189}{0,47712125471966244}\approx -1,464973520717927.

Passo 6

Arredondamento para três casas decimais: o valor obtido é aproximadamente -1,464973\ldots. Ao arredondar para três casas decimais (observando a quarta casa, que é 9), temos
-1,464973\ldots \approx -1,465.

Resposta

\log_{\frac{1}{3}} 5 \approx -1,465

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