Encontre o valor de c que faz com que o sistema abaixo tenha solução(ões):
u+v+2 w & =2 2 u+3 v-w & =5 3 u+4 v+w & =c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pra encontrar o valor de que faz com que ele tenha pelo menos uma solução. A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar usar eliminação de Gauss, que é um método para simplificar o sistema e encontrar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
u + v + 2w &= 2 (Equação 1) 2u + 3v - w &= 5 (Equação 2) 3u + 4v + w &= c (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Nosso objetivo é simplificar esse sistema para encontrar uma relação que envolva . Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar das Equações 2 e 3 usando a Equação 1.

Passo 4

Multiplicamos a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação de 2(u + v + 2w) = 2 times 2 2u + 2v + 4w = 4 (Equação 1 mu:
(2u + 3v - w) - (2u + 2v + 4w) = 5 - 4 (2u - 2u) + (3v - 2v) + (-w - 4w) = 1 v - 5w = 1 (Equação 4) çã
Agora, subtraímos essa nova equação da Equação 2:
çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar 3(u + v + 2w) = 3 times 2 3u + 3v + 6w = 6 (Equação 1 mu da Equação 3 usando a Equação 1. Multiplicamos a Equação 1 por 3:
(3u + 4v + w) - (3u + 3v + 6w) = c - 6 (3u - 3u) + (4v - 3v) + (w - 6w) = c - 6 v - 5w = c - 6 (Equação 5) çã
Subtraímos essa nova equação da Equação 3:
çã

Passo 6

Agora, temos duas equações com apenas v - 5w &= 1 (Equação 4) v - 5w &= c - 6 (Equação 5) e 1 = c - 6 :
çãçã
Para que o sistema tenha solução, essas duas equações precisam ser compatíveis, ou seja, seus lados direitos devem ser iguais:

Passo 7

Resolvendo a equação acima para c - 6 = 1 c = 1 + 6 c = 7 :

Resposta

O valor de que faz com que o sistema tenha solução é 7.

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