Encontre o valor da constante C para a qual a integral
integral0^+infty(1raizx^2+4-Cx+2) d x
converge. Calcule a integral para esse valor de C.

Passo 1

O enunciado pede para achar C de modo que a integral imprópria
integral0^+inftyl(1raizx^2+4-Cx+2r),dx
converja, e em seguida calcular seu valor para esse C. O conteúdo envolve teste de convergência de integrais impróprias (comportamento em xtoinfty) e cálculo de antiderivadas.

Passo 2

Para grandes x temos
1raizx^2+4sim1x, Cx+2simCx,
logo o integrando comporta-se como 1-Cx. Como
integral^inftydxx diverge, precisamos de 1-C=0, isto é
C=1
Em xto0 cada termo é finito, não há problema de divergência no limite inferior.

Passo 3

Tomando C=1, escrevemos a integral de 0 a R e separamos:
integral0^Rdxraizx^2+4 e integral0^Rdxx+2
As antiderivadas são
integral dxraizx^2+4 = ln!l(x+raizx^2+4r),
integral dxx+2 = ln(x+2)
Avaliando de 0 a R:
integral0^Rdxraizx^2+4 = lnl(R+raizR^2+4r)-ln2,
integral0^Rdxx+2 = ln(R+2)-ln2

Passo 4

Subtraindo as duas partes:
I(R) = l[lnl(R+raizR^2+4r)-ln2r] - l[ln(R+2)-ln2r] = lnR+raizR^2+4R+2
Fazendo Rtoinfty aparece
R+raizR^2+4R+2to2,
portanto
limRtoinftyI(R)=ln2

Resposta

C = 1.
integral0^+inftyl(1raizx^2+4-1x+2r),dx = ln2

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