Encontre o valor da constante
para a qual a integral
converge. Calcule a integral para esse valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar
de modo que a integral imprópria
converja, e em seguida calcular seu valor para esse
. O conteúdo envolve teste de convergência de integrais impróprias (comportamento em
) e cálculo de antiderivadas.
Passo 2
Para grandes
temos
logo o integrando comporta-se como
. Como
diverge, precisamos de
, isto é
Em
cada termo é finito, não há problema de divergência no limite inferior.
Passo 3
Tomando
, escrevemos a integral de
a
e separamos:
As antiderivadas são
Avaliando de
a
:
Passo 4
Subtraindo as duas partes:
Fazendo
aparece
portanto