Questão 1 (2,0 pts). Seja o E o sólido que se encontra no primeiro octante e é limitado pelo cone
e pelo cilindro
. Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pelo cone
e pelo cilindro
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a descrição da região e o cálculo.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
,
e
, com Jacobiano
. O cone
torna-se
(tomando
), o cilindro é
e o primeiro octante impõe
. Logo os limites são
,
,
.
Passo 3
O integrando
vira
e o diferencial de volume é
. Assim a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Portanto a integral reduz-se a
.
Passo 5
Agora separamos a integral em produtos:
e
Passo 6
Multiplicando os resultados obtemos