Questão 1 (2,0 pts). Seja o E o sólido que se encontra no primeiro octante e é limitado pelo cone z^2=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=2. Calcule integral triplaE x^2 d V

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla integral triplaEx^2,dV onde E é o sólido no primeiro octante limitado pelo cone z^2=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a descrição da região e o cálculo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos x=rcostheta, y=rsintheta e z=z, com Jacobiano dV=r,dz,dr,dtheta. O cone z^2=r^2 torna-se z=r (tomando z>=0), o cilindro é r=raiz2 e o primeiro octante impõe 0<=theta<=pi/2. Logo os limites são 0<= r<=raiz2, 0<=theta<=pi/2, 0<= z<= r.

Passo 3

O integrando x^2 vira r^2cos^2theta e o diferencial de volume é r,dz,dr,dtheta. Assim a integral fica
integral0^pi/2integral0^raiz2integral0^rr^2cos^2theta;r,dz,dr,dtheta =integral0^pi/2integral0^raiz2integral0^rr^3cos^2theta,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^rr^3cos^2theta,dz=r^4cos^2theta
Portanto a integral reduz-se a integral0^pi/2integral0^raiz2r^4cos^2theta,dr,dtheta.

Passo 5

Agora separamos a integral em produtos:
integral0^raiz2r^4,dr=l[tfracr^55r]0^raiz2=(raiz2)^55=4raiz25,
e
integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=pi4

Passo 6

Multiplicando os resultados obtemos
4raiz25timespi4=piraiz25

Resposta

dfracpiraiz25

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