Sejam a, b, c, d in Z. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
m d c(a b, c d)=m d c(a, c) m d c(b, d).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se para inteiros a, b, c, d vale a igualdade mdc(ab,cd)=mdc(a,c),mdc(b,d). O tema é propriedades de máximo divisor comum e podemos usar um contraexemplo se a igualdade falhar.

Passo 2

Vamos escolher um contraexemplo simples: seja a=2, b=6, c=4 e d=3. Então temos
ab=2cdot6=12, cd=4cdot3=12
Logo
mdc(ab,cd)=mdc(12,12)=12
Por outro lado,
mdc(a,c)=mdc(2,4)=2, mdc(b,d)=mdc(6,3)=3,
e o produto é
mdc(a,c),mdc(b,d)=2cdot3=6

Passo 3

Como 12neq6, a igualdade não se mantém em geral. Portanto a afirmação é falsa, confirmada pelo contraexemplo acima.

Resposta

A afirmação é falsa (por exemplo para a=2, b=6, c=4, d=3 temos mdc(ab,cd)=12 e mdc(a,c)·mdc(b,d)=6, logo não são iguais).

Exercícios relacionados