Sejam
. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se para inteiros a, b, c, d vale a igualdade
. O tema é propriedades de máximo divisor comum e podemos usar um contraexemplo se a igualdade falhar.
Passo 2
Vamos escolher um contraexemplo simples: seja
,
,
e
. Então temos
Logo
Por outro lado,
e o produto é
Passo 3
Como
, a igualdade não se mantém em geral. Portanto a afirmação é falsa, confirmada pelo contraexemplo acima.
Resposta
A afirmação é falsa (por exemplo para a=2, b=6, c=4, d=3 temos mdc(ab,cd)=12 e mdc(a,c)·mdc(b,d)=6, logo não são iguais).