Encontre um valor para a constante K que torne a função
f(x)=cc sen(3 x)x, & se x neq 0 K, & se x=0
contínua em x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor de K que faz a função f(x) ser contínua em x0 = 0 . A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, especificamente a ideia de que, para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando x se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 e igualar isso a K .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a definição da função [f(x)):
Queremos que , então precisamos garantir que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0:
limx to 0 sin(3x)x
Para resolver esse limite, lembramos uma propriedade importante dos limites trigonométricos:
limx to 0 sin(ax)x = a
onde a é uma constante.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso limite:
limx to 0 sin(3x)x = 3
Então, o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 é igual a 3.

Passo 5

Para que a função f(x) seja contínua em x = 0 , precisamos que esse limite seja igual ao valor de f(0) , que é K :
3 = K

Resposta

O valor de K que torna a função contínua em x = 0 é K = 3 .

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