Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a definição de limite
é equivalente à definição
Ambas usam a mesma ideia de “para todo
existe
tal que···”. Vamos comparar as duas definições e ver que uma se transforma na outra simplesmente fazendo a mudança de variável
.
Passo 2
Demonstração de
.
Suponha que
Pela definição, isso significa que:
para todo
existe
tal que, sempre que
então
Agora faça a mudança de variável
. Quando
, temos
e a condição
vira
Logo, sempre que
ocorre
o que prova que
Passo 3
Demonstração de
.
Suponha agora que
Pela definição, para todo
existe
tal que, se
então
Volte à variável
definindo
. A condição
é equivalente a
Portanto, sempre que
obtemos
o que mostra que
Resposta
Como mostramos as duas implicações, concluímos que