Prove que lim x p f(x)=L Long<=ftrightarrow lim h 0 f(p+h)=L.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a definição de limite
limxto p f(x) = L
é equivalente à definição
limhto 0 f(p + h) = L
Ambas usam a mesma ideia de “para todo epsilon > 0 existe de<a > 0 tal que···”. Vamos comparar as duas definições e ver que uma se transforma na outra simplesmente fazendo a mudança de variável h = x - p.

Passo 2

Demonstração de limxto pf(x)=Limplies limhto 0f(p+h)=L.
Suponha que
limxto pf(x)=L
Pela definição, isso significa que:
para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-p|<de<a,
então
|f(x)-L|<epsilon
Agora faça a mudança de variável h = x-p. Quando hto0, temos x = p+h e a condição 0<|x-p|<de<a vira
0<|h|<de<a
Logo, sempre que 0<|h|<de<a ocorre
|f(p+h)-L|<epsilon,
o que prova que
limhto 0f(p+h)=L

Passo 3

Demonstração de limhto 0f(p+h)=Limplies limxto pf(x)=L.
Suponha agora que
limhto 0f(p+h)=L
Pela definição, para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, se
0<|h|<de<a,
então
|f(p+h)-L|<epsilon
Volte à variável x definindo x=p+h. A condição 0<|h|<de<a é equivalente a
0<|x-p|<de<a
Portanto, sempre que 0<|x-p|<de<a obtemos
|f(x)-L|<epsilon,
o que mostra que
limxto pf(x)=L

Resposta

Como mostramos as duas implicações, concluímos que
limxto pf(x)=L Long<=ftrightarrow limhto 0f(p+h)=L

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