Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata
\left(2 x-y \sin x y+k y^{4}\right) d x-\left(20 x y^{3}+x \sin x y\right) d y;

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que a forma diferencial
\bigl(2x - y\sin(xy) + k\,y^{4}\bigr)\,dx \;-\;\bigl(20x y^{3} + x\sin(xy)\bigr)\,dy = 0
seja exata. Isso significa que, definindo
M(x,y) = 2x - y\sin(xy) + k\,y^{4}, \quad N(x,y) = -\bigl(20x y^{3} + x\sin(xy)\bigr),
devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x - y\sin(xy) + k\,y^{4}, \qquad N(x,y) = -\bigl(20x y^{3} + x\sin(xy)\bigr).

Passo 3

Calculamos \partial M/\partial y aplicando a regra do produto em y\sin(xy):
\frac{\partial M}{\partial y} = -\bigl(\sin(xy) + y\cdot x\cos(xy)\bigr) + 4k\,y^{3} = -\sin(xy) - x y\cos(xy) + 4k\,y^{3}.

Passo 4

Calculamos \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x} = -\Bigl(20y^{3} + \bigl[\sin(xy) + x\cdot y\cos(xy)\bigr]\Bigr) = -20y^{3} - \sin(xy) - x y\cos(xy).

Passo 5

Igualamos as duas derivadas:
-\sin(xy) - x y\cos(xy) + 4k\,y^{3} = -20y^{3} - \sin(xy) - x y\cos(xy).
Cancelando os termos iguais, sobra
4k\,y^{3} = -20\,y^{3} \quad\Rightarrow\quad 4k = -20 \quad\Rightarrow\quad k = -5.

Resposta

k = -5

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