- Seja
uma função homogênea de grau
mostre que
Passo 1
O enunciado afirma que
é homogênea de grau
, ou seja, satisfaz
para todo
. Queremos mostrar a chamada identidade de Euler:
Para isso, vamos definir uma função auxiliar em uma só variável e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Defina
Pela homogeneidade de
, temos
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia em
, obtemos
Por outro lado, derivando
em relação a
dá
Passo 4
Bastade avaliar ambas as expressões de
em
. De um lado,
e do outro
Igualando essas duas expressões conclui-se