1. Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n mostre que
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f

Passo 1

O enunciado afirma que f(x,y) é homogênea de grau n, ou seja, satisfaz
f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)
para todo t>0. Queremos mostrar a chamada identidade de Euler:
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n\,f(x,y).
Para isso, vamos definir uma função auxiliar em uma só variável e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Defina
g(t)=f\bigl(t x,\;t y\bigr).
Pela homogeneidade de f, temos
g(t)=t^{n}f(x,y).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em g(t)=f(tx,ty), obtemos
g'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}(t x,t y)\cdot\frac{d(t x)}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}(t x,t y)\cdot\frac{d(t y)}{dt} =x\,\frac{\partial f}{\partial x}(t x,t y) +y\,\frac{\partial f}{\partial y}(t x,t y).
Por outro lado, derivando g(t)=t^{n}f(x,y) em relação a t
g'(t)=n\,t^{\,n-1}f(x,y).

Passo 4

Bastade avaliar ambas as expressões de g'(t) em t=1. De um lado,
g'(1) =x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) +y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),
e do outro
g'(1)=n\,f(x,y).
Igualando essas duas expressões conclui-se
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) +y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = n\,f(x,y).

Resposta

x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n\,f(x,y)

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