Encontre o valor exato de cada expressão.
e^{2 \ln 3}

Passo 1

O que o exercício dá: a expressão \displaystyle e^{2\ln 3}.
O que o exercício pede: encontrar o valor exato dessa expressão (ou seja, uma forma simples e exata, sem logaritmo ou exponencial).

Passo 2

Relembrando conceitos que vamos usar (explicado passo a passo):
  • \ln x é o logaritmo natural de x, isto é, o expoente ao qual a base e deve ser elevada para resultar em x. Por exemplo, \ln 3 é o número tal que e^{\ln 3}=3.
  • A função exponencial e^x e o logaritmo natural \ln x são inversas: para x>0 vale \displaystyle e^{\ln x}=x e \displaystyle \ln(e^y)=y. Isso significa que aplicar e^{(\cdot)} sobre \ln(\cdot) “cancela” os dois operadores quando o argumento é positivo.
  • Outra propriedade útil é a regra do expoente: \displaystyle (a^b)^c=a^{bc}. Em particular, \displaystyle (e^{\ln 3})^2 = e^{2\ln 3}.

Passo 3

Apliquemos a propriedade inversa e^{\ln x}=x de forma controlada. Escrevemos
e^{2\ln 3} = \bigl(e^{\ln 3}\bigr)^2,
usando a propriedade de que \displaystyle e^{2\ln 3}=e^{(\ln 3)\cdot 2}=(e^{\ln 3})^2.

Passo 4

Agora substituímos \displaystyle e^{\ln 3}=3 (pela inversão exponencial-logarítmica) na expressão do passo anterior:
\bigl(e^{\ln 3}\bigr)^2 = 3^2.

Passo 5

Calcule 3^2:
3^2 = 9.

Resposta

9

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