Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{sec} \left(420^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor exato de \operatorname{sec}\left(420^\circ\right). Informação dada:
  • O ângulo é 420^\circ.
  • Pedem o valor exato (ou seja, uma razão simples, não aproximada).

Passo 2

Definição importante (útil na prova): a função secante é o recíproco do cosseno. Em fórmulas:
\operatorname{sec}(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}.
Isso significa que, para achar \operatorname{sec}\left(420^\circ\right), primeiro precisamos achar \cos\left(420^\circ\right).

Passo 3

Redução do ângulo usando periodicidade: o cosseno (e portanto a secante) é periódica com período 360^\circ, isto é,
\cos(\theta+360^\circ)=\cos(\theta).
Logo podemos subtrair 360^\circ de 420^\circ para obter um ângulo coterminal mais simples:
420^\circ-360^\circ=60^\circ.
Portanto
\cos\left(420^\circ\right)=\cos\left(60^\circ\right) \quad\text{e}\quad \operatorname{sec}\left(420^\circ\right)=\operatorname{sec}\left(60^\circ\right).

Passo 4

Determinar o sinal e o valor do cosseno em 60^\circ: o ângulo 60^\circ está no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo. Para o valor exato usamos o triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ: tomando hipotenusa 1, os catetos são \tfrac{1}{2} (adjacente ao 60^\circ) e \tfrac{\sqrt{3}}{2} (oposto ao 60^\circ). Assim
\cos\left(60^\circ\right)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a definição da secante como recíproco do cosseno:
\operatorname{sec}\left(60^\circ\right)=\frac{1}{\cos\left(60^\circ\right)}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Portanto \operatorname{sec}\left(420^\circ\right)=2.

Resposta

2

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