Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{tg}\left(\frac{19 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{19\pi}{6}\right).
Informação dada: o argumento do tangente é o ângulo \dfrac{19\pi}{6}.

Passo 2

Idéia principal (estratégia): reduzir o ângulo a um ângulo mais simples usando a periodicidade da tangente, e então calcular a tangente do ângulo reduzido. Não há nada mais no enunciado, só isso.

Passo 3

Propriedade importante (periodicidade da tangente) e porquê ela vale:
\text{Para todo }\theta,\quad \tan(\theta+\pi)=\tan\theta.
Justificativa curta: como \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e
\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta,\qquad \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta,
temos
\tan(\theta+\pi)=\frac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)}=\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta.
Ou seja, a tangente tem período \pi.

Passo 4

Aplicar a periodicidade para reduzir \dfrac{19\pi}{6}. Observa-se que
\frac{19\pi}{6}=3\pi+\frac{\pi}{6},
então, usando a periodicidade com múltiplo inteiro de \pi,
\tan\!\left(\frac{19\pi}{6}\right)=\tan\!\left(3\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right).

Passo 5

Calcular \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) a partir de \sin e \cos:
Conhecimentos básicos do círculo trigonométrico:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Racionalizando, obtém-se também \dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}

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