Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{sen} \frac{9 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{sen}\dfrac{9\pi}{4}.
Informações dadas:
  • O ângulo é \dfrac{9\pi}{4} radianos (um ângulo maior que 2\pi).
  • Queremos o valor exato da função seno desse ângulo.

Passo 2

Lembrete importante sobre a função seno: ela é periódica com período 2\pi. Isso significa que, para todo x real e todo inteiro k,
\sin\bigl(x+2k\pi\bigr)=\sin(x).
Aqui x é qualquer ângulo (em radianos) e k é um inteiro que indica quantas voltas inteiras de 2\pi se somam/subtraem. Na prática usamos isso para reduzir ângulos grandes para um ângulo coterminal dentro de um intervalo menor (por exemplo [0,2\pi)).

Passo 3

Usando a periodicidade com k= -1 (isto é, subtrair 2\pi) reduzimos \dfrac{9\pi}{4} para um ângulo coterminal menor:
\dfrac{9\pi}{4}-2\pi=\dfrac{9\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}.
Portanto
\sin\!\left(\dfrac{9\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Calcular \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right). Uma maneira geométrica simples: \dfrac{\pi}{4} é um ângulo de 45^\circ. Num triângulo retângulo isósceles com catetos iguais (por exemplo catetos de comprimento 1), a hipotenusa vale \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. O seno é razão entre cateto oposto e hipotenusa, então
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador (forma usual como valor exato),
\frac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Conclusão lógica: como \sin\!\left(\dfrac{9\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, segue o valor exato procurado.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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