Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor exato de \operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right).
Informações relevantes dadas ou úteis (tudo ligado ao próprio ângulo):
  • O ângulo é -\dfrac{\pi}{4} (ou seja, negativo, correspondente a -45^\circ).
  • Conhecer os valores trigonométricos especiais em \dfrac{\pi}{4} será útil ( \sin e \cos de \dfrac{\pi}{4}).

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • A tangente de um ângulo x é definida como o quociente entre seno e cosseno:
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Aqui \sin x é o seno de x e \cos x é o cosseno de x.
  • Propriedades de paridade (muito úteis para sinais):
\sin(-x) = -\sin x\quad\text{e}\quad\cos(-x)=\cos x.
Isto diz que o seno é função ímpar (muda de sinal ao trocar x por -x) e o cosseno é função par (mantém o sinal). Como consequência,
\operatorname{tg}(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\operatorname{tg} x,
ou seja, a tangente também é função ímpar.

Passo 3

Valores conhecidos em \dfrac{\pi}{4} (razão geométrica simples):
  • Considere um triângulo isósceles retângulo com catetos de comprimento 1. A hipotenusa tem comprimento \sqrt{2} (teorema de Pitágoras).
  • Para o ângulo \dfrac{\pi}{4} (45°) nesse triângulo, o seno e o cosseno valem
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Esse é um resultado padrão e muito útil.

Passo 4

Calcular \sin e \cos em -\dfrac{\pi}{4} usando as propriedades de paridade:
\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora a tangente é o quociente:
\operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)} = \frac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = -1.

Passo 5

Forma alternativa curta (mesma ideia, só mais direta):
\operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right).
E como
\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1,
segue que \operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1.

Resposta

-1

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