Encontre o valor exato dos números:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o valor exato de
.
Informações relevantes dadas ou úteis (tudo ligado ao próprio ângulo):
- O ângulo é
(ou seja, negativo, correspondente a ). - Conhecer os valores trigonométricos especiais em
será útil ( e de ).
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas devagarinho):
- A tangente de um ângulo
é definida como o quociente entre seno e cosseno:
Aqui
é o seno de
e
é o cosseno de
.
- Propriedades de paridade (muito úteis para sinais):
Isto diz que o seno é função ímpar (muda de sinal ao trocar
por
) e o cosseno é função par (mantém o sinal). Como consequência,
ou seja, a tangente também é função ímpar.
Passo 3
Valores conhecidos em
(razão geométrica simples):
- Considere um triângulo isósceles retângulo com catetos de comprimento
. A hipotenusa tem comprimento (teorema de Pitágoras). - Para o ângulo
(45°) nesse triângulo, o seno e o cosseno valem
Esse é um resultado padrão e muito útil.
Passo 4
Calcular
e
em
usando as propriedades de paridade:
Agora a tangente é o quociente:
Passo 5
Forma alternativa curta (mesma ideia, só mais direta):
E como
segue que
.