Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{cotg}\left(\frac{17 \pi}{4}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se o valor exato de \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{17\pi}{4}\right).
  • A única informação numérica é o ângulo \dfrac{17\pi}{4}.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (aulas rapidinhas):
  • A função cotangente pode ser definida por
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x},
quando \sin x \neq 0.
  • Relação com a tangente:
\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\tan x},
quando \tan x está definida.
  • Periodicidade importante: a cotangente tem período \pi. Ou seja,
\operatorname{cotg}(x+\pi)=\operatorname{cotg} x.
Prova curta dessa periodicidade:
\operatorname{cotg}(x+\pi)=\frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{cotg} x.

Passo 3

Reduzir o ângulo usando a periodicidade:
  • Primeiro escrevemos
\frac{17\pi}{4}=4\pi+\frac{\pi}{4},
porque 17/4=4+1/4.
  • Como \operatorname{cotg} tem período \pi, adicionar 4\pi (que é 4 vezes \pi) não altera o valor:
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{17\pi}{4}\right)=\operatorname{cotg}\!\left(4\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Calcular \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right):
  • Sabemos os valores do seno e cosseno em \dfrac{\pi}{4}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Então, pela definição,
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Resposta

1

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