Encontre o valor exato de:
e) \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right).
Informações dadas: o ângulo é -\dfrac{\pi}{4} (um ângulo negativo em radianos) e queremos o valor exato do seno desse ângulo.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa o número \dfrac{\pi}{4} em graus, porque isso ajuda a visualizar. Para converter radianos em graus usamos a relação \pi rad =180^\circ. Portanto,
\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{180^\circ}{4} = 45^\circ.
Ou seja, \dfrac{\pi}{4} corresponde a 45^\circ, um ângulo bem conhecido.

Passo 3

Agora diga-se o que faz o sinal negativo: um ângulo negativo -\theta é uma rotação no sentido horário, simetricamente abaixo do eixo x. Geometricamente, no círculo trigonométrico, o ponto associado a \theta tem coordenadas (\cos\theta,\sin\theta) e o ponto associado a -\theta tem coordenadas (\cos\theta,-\sin\theta). Isso implica a propriedade de paridade do seno:
\operatorname{sen}(-\theta) = -\operatorname{sen}(\theta).
Essa relação é fácil de entender: ao refletir um ponto do círculo em relação ao eixo x, a abscissa ( \cos) permanece a mesma e a ordenada ( \sin) muda de sinal.

Passo 4

Então podemos reduzir o problema para calcular \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) e depois trocar o sinal. Vamos calcular \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right).
Um modo simples de obter \operatorname{sen}\!\left(45^\circ\right) é usar um triângulo retângulo isósceles com ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ. Se os catetos valem 1 cada, o teorema de Pitágoras dá o hipotenusa:
\text{hipotenusa} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}.
No triângulo, seno do ângulo 45^\circ é razão entre cateto oposto e hipotenusa, então
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para escrever isso na forma padrão racionalizada, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}:
\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Aplicando a propriedade de paridade do seno vista no Passo 3:
\operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Pronto — chegamos ao valor exato. A intuição geométrica: o ponto para 45^\circ tem ordenada positiva \dfrac{\sqrt{2}}{2}; para -45^\circ a ordenada é a mesma em valor absoluto, mas negativa.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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