Encontre o valor exato de:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor exato de
.
Informações dadas: o ângulo é (um ângulo negativo em radianos) e queremos o valor exato do seno desse ângulo.
Informações dadas: o ângulo é
Passo 2
Vamos lembrar o que significa o número
em graus, porque isso ajuda a visualizar. Para converter radianos em graus usamos a relação
rad
. Portanto,
Ou seja,
corresponde a
, um ângulo bem conhecido.
Passo 3
Agora diga-se o que faz o sinal negativo: um ângulo negativo
é uma rotação no sentido horário, simetricamente abaixo do eixo
. Geometricamente, no círculo trigonométrico, o ponto associado a
tem coordenadas
e o ponto associado a
tem coordenadas
. Isso implica a propriedade de paridade do seno:
Essa relação é fácil de entender: ao refletir um ponto do círculo em relação ao eixo
, a abscissa (
) permanece a mesma e a ordenada (
) muda de sinal.
Passo 4
Então podemos reduzir o problema para calcular
e depois trocar o sinal. Vamos calcular
.
Um modo simples de obter
é usar um triângulo retângulo isósceles com ângulos
. Se os catetos valem
cada, o teorema de Pitágoras dá o hipotenusa:
No triângulo, seno do ângulo
é razão entre cateto oposto e hipotenusa, então
Para escrever isso na forma padrão racionalizada, multiplicamos numerador e denominador por
:
Portanto
Passo 5
Aplicando a propriedade de paridade do seno vista no Passo 3:
Pronto — chegamos ao valor exato. A intuição geométrica: o ponto para
tem ordenada positiva
; para
a ordenada é a mesma em valor absoluto, mas negativa.