Resolva os PVI’s (miscelânia).
l(y-y^2) d x-d y=0 y(0)=2

Passo 1

Resumo do enunciado: o PVI é (y-y^2),dx - dy = 0 com y(0)=2. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis, então vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos em forma explícita de derivada: dydx = y - y^2, confirmando que é separável.

Passo 3

Separamos as variáveis: dyy(1-y) = dx

Passo 4

Fazemos frações parciais em 1y(1-y): 1y(1-y) = 1y + 11-y

Passo 5

Integramos ambos os lados: integrall(1y + 11-yr)dy = integral dx o que leva a ln|y| - ln|1-y| = x + C

Passo 6

Exponenciamos para livrar dos logaritmos: y1-y = K e^x, onde K = e^C.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=2: 21-2 = K,e^0implies K = -2.

Passo 8

Voltando à expressão geral e isolando y: y1-y = -2e^x
y(1 - 2e^x) = -2e^x daí y = -2e^x1 - 2e^x = 2e^x2e^x - 1.

Resposta

A solução do PVI é y(x)=2e^x2e^x -1.

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