Nos exercícios a seguir, determine o maior intervalo (ou a união de intervalos) em que a função f \circ g é contínua.
f(x)=\frac{1}{x} e g(x)=x-2

Passo 1

O enunciado pede o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função composta f\circ g é contínua, onde
f(x)=\frac{1}{x}, \quad g(x)=x-2.
O conteúdo aqui é o estudo da continuidade de composições: g é contínua em todo \mathbb{R} e f é contínua em seu domínio (todos os x\neq0). Para f\circ g ser contínua em x, precisamos ter g(x) no domínio de f.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a composta, temos
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(x-2)=\frac{1}{\,x-2\,}.

Passo 3

O domínio de f\circ g consiste nos valores de x tais que x-2\neq0, pois não podemos dividir por zero. Logo,
x-2\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq2.

Passo 4

Sabendo que g é contínua para todo x e que f é contínua em todo ponto de seu domínio x\neq0, a composição f\circ g será contínua em todo ponto de seu domínio (teorema da continuidade de composições). Portanto, f\circ g é contínua para todo x\neq2.

Resposta

(-\infty,2)\cup(2,\infty)

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