Encontre o valor de f(y) que satisfaz o balanço de massa para um escoamento incompressível
V=7 x y^2 imath+f(y) jmath+y^3 k

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Encontre o valor de V=7,x,y^2,imath + f(y),jmath + y^3,k que satisfaz o balanço de massa para um escoamento incompressível
Isso é conteúdo de Mecânica dos Fluidos/Continuidade: pra um escoamento incompressível a divergência do campo de velocidade tem que dar zero. Então a gente vai precisar lembrar da definição de divergência e usar .

Passo 2

O que é divergência?
Para um campo nablacdotvec V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z ,
nablacdotvec V = 0
No escoamento incompressível a massa não “aparece” nem “desaparece”, então

Passo 3

Vamos aplicar:
  • partial Vxpartial x = partial (7xy^2)partial x = 7y^2,
  • partial Vypartial y = d,f(y)dy = f'(y),
  • partial Vzpartial z = partial (y^3)partial z = 0
Logo
(porque não depende de ).

Passo 4

Somando na condição de incompressibilidade:
nablacdotvec V = 7y^2 + f'(y) + 0 = 0 Longrightarrow f'(y) = -7y^2
Agora é só integrar em relação a f(y) = integral -7y^2,dy = -7integral y^2,dy = -7cdoty^33 + C = -73,y^3 + C, :
onde é a constante de integração.

Resposta

f(y) = -73,y^3 + C

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